¿Cuántas soluciones puede tener un sistema de ecuaciones con dos incógnitas?
Todo sistema de dos ecuaciones con 2 incógnitas puede tener :
- solución única (o sea, un sólo valor de "x" y un sólo valor de "y" ser la solución de sistema).
- tener infinitas soluciones.
- no tener ninguna solución.
¿Cómo se clasifican los sistemas de ecuaciones?
- Aquellos que tienen solución única, son sistemas compatibles determinados.
- Aquellos que tienen infinitas soluciones, son sistemas compatibles indeterminados.
- Aquellos que no tienen solución, son sistemas incompables.
¿Cómo se representan en los ejes cartesianos?
- Los sistemas compatibles determinados, se representan por dos rectas cuya intersección es la solución del sistema.
- Los sistemas compatibles indeterminados, se representan por dos rectas superpuestas.
- Los sistemas incompatibles, se reresentan por dos rectas paralelas, que al no tener ningún punto de contacto, reflejan que no existe solución.
Métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones con 2 incógnitas
Si tenemos un sistema de ecuaciones en donde las incógitas son "x" e "y", podemos resolverlos por los siguientes métodos:
Método de sustitución
Resulta en despejar de la primera ecuación una incógnita para luego reemplazarla en la segunda ecuación, convirtiendo a esta segunda ecuación en una ecuación con una sola incógnita, que podemos resolver para luego encontrar el valor de la segunda incógnita.
Ejemplo de caso práctico:
2x+3y=12 ; 5x-2y=11
Llamaremos e1 a la ecuación número 1.
y llamaremos e2 a la ecuación número 2.
e1 será 2x+ 3y= 12
e2 será 5x-2y=11
de e1 despejaremos "x" siguiendo los pasos:
2x+3y= 12
2x= 12-3y
x=(12-3y)/2
x=12/2- 3y/2
x= 6 - 3y/2
ahora reemplazaremos la ecuación resaltada en color naranja en e2, de la siguiente manera:
Recordemos que e2 es: 5x-2y= 11
por lo tanto haciendo la sustitución (por eso lleva ese nombre el método...), de "x" por el valor que tiene "x" en la ecuación naranja, queda:
5 .(6-3y/2) - 2y=11
importante: miremos que la sustitución está escrita entre paréntesis porque lo sustituído debe conservar las mismas propiedades de la ecuación, en este caso si el número 5 multiplicaba a toda la "x", lo sustituído también lo debe mantener.
si resolvemos ahora la ecuación e2, quedaría:
30-15y/2-2y=11
30-11=15y/2+2y
19=15y/2+2y
19=19/2y
38=19y
38/19=y
2=y
Ahora que conocemos el valor de y, que es "2"
volvemos a la ecuación naranja
x=6 - 3y/2
y reemplazamos la "y" por el "2"
x= 6-3.2/2
x= 6-6/2
x= 6-3
x=3
Por lo que el sistema tiene una solución única para x=3 e y=2
Una manera fácil de verificar que los valores obtenidos son correctos sería reemplazar en las ecuaciones originales e1 y e2 los valores obtenidos y probar que mantienen la igualdad de ambas ecuaciones, o sea:
e1: 2x+3y=12
reemplazada es:
e1: 2.3+3.2 =12
6+6=12
12=12
y
e2: 5x-2y=11
reemplazada es:
5.3-2.2=11
15-4=11
11=11
y así nos aseguramos que los resultados obtenidos para ambas incógnitas en ambas ecuaciones son correctos.
Método de Igualación
Resulta de despejar de ambas ecuaciones la misma incógnita, para luego igualarlas y convertir la ecuación resultante en una ecuación de primer grado ( o sea, donde tengo una sóla variable).
Para nuestro caso, donde ambas ecuaciones son:
2x+3y=12 ; 5x-2y=11
decido despejar de ambas ecuaciones por ejemplo "x"
empezando por e1 obtengo:
2x+3y=12
2x=12-3y
x=(12-3y)/2
haciendo lo mismo con e2
5x-2y=11
5x=11+2y
x=(11+2y)/5
Ahora si ambas ecuaciones color verde son igual a "x", las igualo (por eso el método se llama de igualación...)
o sea,
(12-3y)/2= (11+2y)/5
y resuelvo:
(12-3y).5= (11+2y).2
12.5_3.5/y= 11.2+2.2y
60-15y=22+4y
60-22=4y+15y
38=19y
38/19=y
2=y
Luego, para encontrar el valor de la variable "x" reemplazo en valor obtenido en cualquiera de las cuaciones de color verde.
Por ejemplo en:
x=(12-3y)/2
x=(12-3.2)/2
x=(12-6)/2
x=6/2
x=3
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones, tiene por resultado x=3; y=2
Método de Sumas y Restas
Resulta de multiplicar a toda la ecuación e1 por el coeficiente de la incógnita elegida en la ecuación e2 y de multiplicar a toda la ecuación e2 por el coeficiente de la misma incógnita elegida en la ecuación e1. Ambas ecuaciones deben estar escritas de la siguiente manera:
ax+by=c
Luego, se procede a sumar o restar por columnas, a fin de cancelar una de las incógitas y poder resolver la ecuación obtenida que tendrá ya una sóla incógnita.
Obtenido el valor de una de las variables, se procede a encontrar la solución de la otra incógnita.
Método de sustitución
Resulta en despejar de la primera ecuación una incógnita para luego reemplazarla en la segunda ecuación, convirtiendo a esta segunda ecuación en una ecuación con una sola incógnita, que podemos resolver para luego encontrar el valor de la segunda incógnita.
Ejemplo de caso práctico:
2x+3y=12 ; 5x-2y=11
Llamaremos e1 a la ecuación número 1.
y llamaremos e2 a la ecuación número 2.
e1 será 2x+ 3y= 12
e2 será 5x-2y=11
de e1 despejaremos "x" siguiendo los pasos:
2x+3y= 12
2x= 12-3y
x=(12-3y)/2
x=12/2- 3y/2
x= 6 - 3y/2
ahora reemplazaremos la ecuación resaltada en color naranja en e2, de la siguiente manera:
Recordemos que e2 es: 5x-2y= 11
por lo tanto haciendo la sustitución (por eso lleva ese nombre el método...), de "x" por el valor que tiene "x" en la ecuación naranja, queda:
5 .(6-3y/2) - 2y=11
importante: miremos que la sustitución está escrita entre paréntesis porque lo sustituído debe conservar las mismas propiedades de la ecuación, en este caso si el número 5 multiplicaba a toda la "x", lo sustituído también lo debe mantener.
si resolvemos ahora la ecuación e2, quedaría:
30-15y/2-2y=11
30-11=15y/2+2y
19=15y/2+2y
19=19/2y
38=19y
38/19=y
2=y
Ahora que conocemos el valor de y, que es "2"
volvemos a la ecuación naranja
x=6 - 3y/2
y reemplazamos la "y" por el "2"
x= 6-3.2/2
x= 6-6/2
x= 6-3
x=3
Por lo que el sistema tiene una solución única para x=3 e y=2
Una manera fácil de verificar que los valores obtenidos son correctos sería reemplazar en las ecuaciones originales e1 y e2 los valores obtenidos y probar que mantienen la igualdad de ambas ecuaciones, o sea:
e1: 2x+3y=12
reemplazada es:
e1: 2.3+3.2 =12
6+6=12
12=12
y
e2: 5x-2y=11
reemplazada es:
5.3-2.2=11
15-4=11
11=11
y así nos aseguramos que los resultados obtenidos para ambas incógnitas en ambas ecuaciones son correctos.
Método de Igualación
Resulta de despejar de ambas ecuaciones la misma incógnita, para luego igualarlas y convertir la ecuación resultante en una ecuación de primer grado ( o sea, donde tengo una sóla variable).
Para nuestro caso, donde ambas ecuaciones son:
2x+3y=12 ; 5x-2y=11
decido despejar de ambas ecuaciones por ejemplo "x"
empezando por e1 obtengo:
2x+3y=12
2x=12-3y
x=(12-3y)/2
haciendo lo mismo con e2
5x-2y=11
5x=11+2y
x=(11+2y)/5
Ahora si ambas ecuaciones color verde son igual a "x", las igualo (por eso el método se llama de igualación...)
o sea,
(12-3y)/2= (11+2y)/5
y resuelvo:
(12-3y).5= (11+2y).2
12.5_3.5/y= 11.2+2.2y
60-15y=22+4y
60-22=4y+15y
38=19y
38/19=y
2=y
Luego, para encontrar el valor de la variable "x" reemplazo en valor obtenido en cualquiera de las cuaciones de color verde.
Por ejemplo en:
x=(12-3y)/2
x=(12-3.2)/2
x=(12-6)/2
x=6/2
x=3
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones, tiene por resultado x=3; y=2
Método de Sumas y Restas
Resulta de multiplicar a toda la ecuación e1 por el coeficiente de la incógnita elegida en la ecuación e2 y de multiplicar a toda la ecuación e2 por el coeficiente de la misma incógnita elegida en la ecuación e1. Ambas ecuaciones deben estar escritas de la siguiente manera:
ax+by=c
Luego, se procede a sumar o restar por columnas, a fin de cancelar una de las incógitas y poder resolver la ecuación obtenida que tendrá ya una sóla incógnita.
Obtenido el valor de una de las variables, se procede a encontrar la solución de la otra incógnita.
Para nuestro caso, las ecuaciones son: 2x+3y=12 ; 5x-2y=11
decido elegir como variable la "x" por lo cual veo los coeficientes que acompañan a esta variable en ambas ecuaciones, remarcadas en color azul
2x+3y=12 ; 5x-2y=11
por lo cual para nuestro ejemplo multiplico toda la ecuación e1 por 5
y multiplico toda la ecuación e2 por 2
quedando 10x+15y=60; 10x-4y=22
de esta manera siempre lograremos que una de las dos incógnitas de ambas ecuaciones queden con el mismo coeficiente, pudiendo ahora encolumnarlas y por resta o suma de columnas eliminar esa variable. O sea,
10x+15y=60
10x-4y=22
Si las resto por columnas, reduzco las 2 ecuaciones a una sola, obteniendo
(10x-10x)+ (15y-(-4y))=60-22
15y+4y=38
19y=38
y=38/19
y=2
Para obtener x, procedo nuevamente desde el comienzo
2x+3y=12; 5x-2y=11
por lo que para nuestro ejemplo elijo los coeficientes de la variable "y"
2x+3y=12; 5x-2y=11
y multiplico a toda la ecuación e1 por -2
y a toda la ecuación e2 por 3, resultando:
-4x-6y=-24; 15x-6y=33
Si escribo una ecuación en cada renglón y luego resto sus columnas, logro eliminar una variable
-4x-6y=-24
15x-6y=33
quedará: (-4x-(+15x))+ (-6y-(-6y))=-24-33
(-4x-15x)+(-6y+6y)=-57
-19x=-57
x=-57/(-19)
x=3
Obteniendo por resultado las variables x=3;y=2
decido elegir como variable la "x" por lo cual veo los coeficientes que acompañan a esta variable en ambas ecuaciones, remarcadas en color azul
2x+3y=12 ; 5x-2y=11
por lo cual para nuestro ejemplo multiplico toda la ecuación e1 por 5
y multiplico toda la ecuación e2 por 2
quedando 10x+15y=60; 10x-4y=22
de esta manera siempre lograremos que una de las dos incógnitas de ambas ecuaciones queden con el mismo coeficiente, pudiendo ahora encolumnarlas y por resta o suma de columnas eliminar esa variable. O sea,
10x+15y=60
10x-4y=22
Si las resto por columnas, reduzco las 2 ecuaciones a una sola, obteniendo
(10x-10x)+ (15y-(-4y))=60-22
15y+4y=38
19y=38
y=38/19
y=2
Para obtener x, procedo nuevamente desde el comienzo
2x+3y=12; 5x-2y=11
por lo que para nuestro ejemplo elijo los coeficientes de la variable "y"
2x+3y=12; 5x-2y=11
y multiplico a toda la ecuación e1 por -2
y a toda la ecuación e2 por 3, resultando:
-4x-6y=-24; 15x-6y=33
Si escribo una ecuación en cada renglón y luego resto sus columnas, logro eliminar una variable
-4x-6y=-24
15x-6y=33
quedará: (-4x-(+15x))+ (-6y-(-6y))=-24-33
(-4x-15x)+(-6y+6y)=-57
-19x=-57
x=-57/(-19)
x=3
Obteniendo por resultado las variables x=3;y=2
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